Випадковий експеримент, елементарні наслідки, події - Математика
Випадковим (стохастичним) експериментом або випробуванням називається здійснення будь-якого комплексу умов, який можна практично або подумки відтворити скільки завгодно велику кількість разів.
Приклади випадкового експерименту: підкидання монети, вилучення однієї картки з перетасованої колоди.
Явища, що відбуваються під час реалізації цього комплексу умов, тобто у результаті випадкового експерименту, називаються елементарними результатами. Вважається, що з проведенні випадкового експерименту реалізується лише одне із можливих елементарних результатів.
Якщо монету підкинути один раз, то елементарними наслідками можна вважати випадання герба (Г) або цифри (Ц).
Якщо випадковим експериментом вважати триразове підкидання монети, то елементарними наслідками можна вважати такі:
ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ.
Безліч всіх елементарних наслідків випадкового експерименту називається простором елементарних наслідків. Будемо позначати простір елементарних результатів буквою W (омега велика) i-й елементарний результат будемо позначати wi (w-омега мала).
Якщо простір елементарних наслідків містить n елементарних наслідків, то
Для триразового підкидання монети,
Якщо випадковий експеримент – підкидання гральної кістки, то W=(1,2,3,4,5,6).
Якщо W звичайно або рахунково, то випадковою подією або просто подією називається будь-яке підмножина W.
Безліч називається лічильним, якщо між ним та безліччю N натуральних чисел можна встановити взаємно-однозначну відповідність.
Приклад лічильної множини: безліч можливих значень часу прильоту інопланетян на Землю, якщо час відраховувати з цього моменту іобчислювати із точністю до секунди.
Приклади незліченних множин: множина точок на заданому відрізку, множина чисел x, що задовольняють нерівності 1 10 /6 10 . VI. 1/6 п -1. VII.
Рішення. I. Загальна кількість результатів, це число варіантів розподілу 20-ти карт, що залишилися, між гравцями В і С. Це число дорівнює . Підрахуємо тепер кількість сприятливих результатів. Нехай три черви, що залишилися, дісталися гравцю В. Тоді число варіантів набору з 10-ти карт, що містить цю трійку карт дорівнює . Природно, що якщо гравець отримав свої 10 карт, залишилися 10 карт неминуче отримує гравець С. Аналогічний результат виходить, якщо припустити, що три черви виявляються у гравця С. Таким чином, відповідь завдання визначається формулою , і шукана ймовірність дорівнює 4/19.
ІІ. Зважаючи на те, що з умови нам невідомо, які це пропозиції, і нас цікавить лише кількісна сторона справи, вважатимемо, що загальна кількість результатів дорівнює (повна аналогія з комбінаторним завданням про однакові подарунки – Завдання V попередньої теми). Число сприятливих результатів. одно 5. Тоді шукана ймовірність дорівнює 1/42.
ІІІ. Загальна кількість варіантів розподілу карт серед 4-х гравців дорівнює. Нехай перший гравець отримав 4 тузи. Тоді число варіантів набору карт, що йому дісталися, дорівнює . Усього варіантів розподілу карт між чотирма учасниками в цьому випадку буде рівним. Потрібно врахувати, що чотири тузи можуть потрапити будь-кому із 4-х учасників. Остаточно отримуємо, що шукана ймовірність дорівнює 7/899»0,007786.
IV.10 літер можна розмістити у ряді числом способів, рівним 10! Щоб отримати кількість сприятливих результатів, потрібно взяти слово МАТЕМАТИКА і переконатися, що його можна отримати, переставляючи місцями 3 літери А, 2 літери М і 2 літери Т, що можна зробити 3!2!2!способами Відповідь задачі: 3!2!2!/10!
V. Загальна кількість наслідків тут дорівнює 6 10 . До сприятливих результатів слід віднести випадання однієї, двох, трьох і т. д. шісток. Простіше підрахувати число несприятливих наслідків, тобто наслідків, коли не випало жодної шістки. Їх, очевидно, 5 10 і число сприятливих результатів дорівнює 6 10 -5 10 . Шукана ймовірність дорівнює 1-5 10/6 10 .
VI. Загальна кількість результатів тут дорівнює 6 n. Число сприятливих результатів - 6. Відповідь задачі: 1/6 п-1.
VII Кожна партія має два результати – виграш одного чи іншого учасника. Для двох партій є 2 2 = 4 результати, для трьох партій - 2 3 = 8 результатів, для n партій - 2 n результатів. Серед них рівно результатів відповідають виграшу одного з гравців m партій. Таким чином, шукана ймовірність дорівнює
Завдання для самостійного вирішення.
1) В урні a білих і b чорних куль (a ³ 2; b ³ 2). З урни без повернення витягуються 2 кулі. Знайти ймовірність того, що кулі одного кольору.
2) В урні знаходяться a білих та b чорних куль. Кулі без повернення витягуються з урни. Знайти ймовірність того, що k-а вийнята куля виявилася білою.
3) Колода з 32-х карток ретельно перетасована. Знайти ймовірність того, що всі чотири тузи лежать у колоді один за одним, не перемежуючись іншими картами.
4) n людина розсідають у ряд у випадковому порядку. Яка ймовірність, що дві певні особи виявляться поруч?
5) З 28 кісток доміно випадково вибираються дві. Знайти ймовірність того, що з них можна скласти "ланцюжок", згідно з правилами гри.
6) З літер розрізної абетки складено слово СТАТИСТИКА. Потім із цих букв випадковим чином без повернення відібрано 5 букв. Знайти ймовірність, що з відібраних літер можна скласти слово ТАКСІ.
7) Чому дорівнює ймовірність того, що два кидання трьох різнокольорових гральних кісток дадуть той самий результат?
8) До ліфту 8-поверхового будинку на першому поверсі увійшли 5 осіб. Кожен із них з рівною ймовірністю може вийти на будь-якому з поверхів, починаючи з другого. Знайти ймовірність, що всі п'ятеро вийдуть на різних поверхах.
9) Знайти ймовірність того, що серед довільно вибраних 12 осіб усі мають дні народження в різні місяці.
10) У кишені лежать 10 ключів, з яких до цього замку підходить лише один, але невідомо який. З кишені вилучаються ключі випадково один за одним, і робиться спроба відкрити замок. Знайти ймовірність того, що замок буде відкрито з 7-ї спроби.
11) Для зменшення загальної кількості ігор 2n команд спортсменів розбиваються на дві підгрупи. Визначити ймовірність того, що дві найсильніші команди виявляться: а) у різних підгрупах; б) в одній підгрупі.
12) З групи, що складається з 6-ти осіб, троє з яких розмовляють англійською, випадково відбирають 3-х осіб. Знайти ймовірність того, що серед обраних людей не менше 2-х розмовляють англійською.
Відповіді: 1); 2)a/(a+b); 3) 29! 4! / 32! = 1/1240; 4) 2/п; 5) 7/18; 6) 2/21 7) 1/216; 8); 9) 11! / 12 11; 10) 1/10; 11)а)n/(2n-1); б)(n-1)/(2n-1); 12) 1/2