Статистики Бозе-Ейнштейна та Фермі-Дірака
Одним із найважливіших об'єктів вивчення, як і класичної фізики, є ідеальний газ, оскільки реальну систему можна вважати ідеальним газом у досить хорошому наближенні. Стан системи невзаємодіючих частинок визначається за допомогоюNi -чисел заповнення, що характеризують ступінь заповнення квантового стану, що характеризується цим набором i квантових чисел, частинками системи, що складається з безлічі тотожних частинок.
При розгляді принципу Паулі ми вже говорили про принцип нерозрізненості тотожних частинок. Розглянемо випадок двох тотожних частинок з погляду рівняння Шредінгера. Із самого поняття тотожності випливає, що хвильова функція повинна задовольняти одному й тому ж рівнянню Шредінгера при зміні частинок місцями (при цьому не змінюється також власне значення енергії):
(2.42)
Гамільтоніан енергії є ермітову матрицю. Нагадаємо, що квадратну - матрицю називаютьермітової абосамоспряженої, якщо кожен з її елементів комплексно пов'язаний елементу, симетричному даному щодо головної діагоналі; інакше кажучи, матриця А ермітова, якщо:
Звідси випливає властивість самосполучення ермітової матриці: ермітова матриця тотожно дорівнює своїй ермітово сполученій, і навпаки. Наприклад, усі наступні матриці:
є ермітовими (самоспряженими). Зважаючи на ермітовість гамільтоніана у разі відсутності виродження по енергії (при даному Е) можна зробити висновок, що:
(2.33)
Звідси слідує що
(2.34)
Маємо дві можливості:
тоді - симетрична хвильова функція
тоді - антисиметрична функція (2.35)
Коли власне значення Е вироджено, рівність (2.33) можета не виконуватися. В цьому випадку, проте, замість базисних функцій можна взяти їх лінійні комбінації:
або - симетрична (за координатами тотожних частинок) комбінація;
або - антисиметрична (за координатами тотожних частинок) комбінація.
Загальними висновками з проведених міркувань є:
- хвильову функцію системи, що складається з двох тотожних частинок, завжди можна вибрати симетричну або антисиметричну щодо операції перестановки цих частинок.
- якщо хвильова функція у початковий час є симетричною (антисиметричною), то будь-який інший час ця функція зберігає свої властивості симетрії.
Як ми вже говорили, Паулі показав, що частинки, що описуються антисиметричними хвильовими функціями, маю напівцілий спин, частинки, що описуються симетричними хвильовими функціями – цілий (або нульовий) спин. Винятки із цього правила невідомі.
Досвід показує, що симетрія чи антисиметрія ПСІ-функції визначається спином частинок. Залежно від характеру симетрії всі елементарні частинки та побудовані з них системи (атоми, молекули) поділяються на два класи:
- частинки з дробовим спином (електрони, протони, нейтрони) описуються антисиметричними хвильовими функціями єферміонами.
- частинки з нульовим або цілим спином описуються симетричними хвильовими функціями -бозони.
Для систем частинок, утворених бозонами, числа заповнення можуть набувати будь-які цілі значення: Для системи частинок, утворених ферміонами, числа заповнення можуть набувати лише два значення: "0" - для вільних станів і "1" - для зайнятих. Це не що інше, як принцип Паулі у новому виразі - . Сума всіх чисел заповнення маєдорівнювати числу частинок системи. Квантова статистика дозволяє підрахувати середнє число частинок у цьому квантовому стані, тобто. Визначити середні числа заповнення - .
Ідеальний газ із бозонів (бозе-газ) описується квантовою статистикою Бозе-Ейнштейна. Розподіл бозонів за енергіями випливає з великого канонічного розподілу Гіббса (зі змінним числом частинок) за умови, що число тотожних бозонів даному квантовому стані може бути будь-яким:
Це-розподіл Бозе-Ейнштейна. -Середня кількість бозонів в квантовому стані з енергією Ei; k - постійна Больцмана, Т - температура, m - хімічний потенціал (визначає зміна внутрішньої енергії системи при додаванні до неї однієї частки за умови, що решта величин, від яких залежить внутрішня енергія, фіксовані).
Ідеальний газ із ферміонів(фермі – газ) описується статистикою Фермі-Дірака:
Якщо , то розподіл Бозе-Ейнштейна і Фермі-Дірака переходять у класичний розподіл Максвелла-Больцмана:
т.ч., за високих температур обидва "квантових" газу поводяться подібно до класичного газу. Система частинок називаєтьсявиродженою, якщо її властивості істотно відрізняються від властивостей систем, що підкоряються класичній статистиці.Параметром виродження називається величина А, при А