Орієнтація, Математика, FANDOM powered by Wikia
Орієнтація, у класичному випадку — вибір одного класу систем координат, пов'язаних між собою «позитивно» у певному сенсі. Кожна система задає орієнтацію, визначаючи клас, якого вона належить.
В елементарній математиці, орієнтація часто описується через поняття «напрями і проти годинникової стрілки».
Орієнтація визначається лише деяких спеціальних класів просторів (різноманітностей, векторних розшарування, комплексів Пуанкаре тощо. буд.). Сучасний погляд на орієнтацію дається у рамках узагальнених теорій когомологій.
Зміст
Звичайний векторний простір
У разі векторного простору кінцевої розмірності над полем дійсних чисел дві системи координат вважаються позитивно пов'язаними, якщо позитивний визначник матриці переходу від однієї з них до іншої.
Для загального поля визначення орієнтації становить труднощі. Наприклад, у комплексному просторі $ \mathbb C^n $ комплексний репер $ e_1,e_2. e_n$ визначає дійсний репер $e_1,e_2. e_n, ie_1, ie_2. ie_n $ у тому самому просторі, що розглядається як $ \R^ $ , і всі такі репери пов'язані попарно позитивними переходами (іншими словами комплексна структура задає орієнтацію в $ \R^ $ ).
Афінний простір
На прямій, площині і взагалі в речовинному афінному просторі $A$ системи координат складаються з точки (початку $O$) і репера $\$, перехід визначається вектором перенесення початку та заміною репера. Цей перехід позитивний, якщо позитивний визначник матриці заміни (наприклад, при парній перестановці репера векторів).
Дві системи координат визначають ту саму орієнтацію, якщо одну з них можна перевести в іншу безперервно,тобто існує безперервно що залежить від параметра $ t \ in [0, 1] $ сімейство координатних систем $ O (t) $ , $ \ $ , що зв'язує дані системи $ O $ , $ \ $ і $ O' $ , $ \$.
При відображенні у гіперплощині системи двох класів переходять одна в одну.
Орієнтація може бути задана порядком вершин $n$-вимірного симплексу (трикутника у двовимірному випадку, тетраедра в тривимірному), Репер визначається умовою: в першу вершину міститься початок, в інші з першої направляються вектори репера. Два порядки задають одну орієнтацію, якщо тільки якщо вони відрізняються на парну перестановку. Симплекс із фіксованим з точністю до парної перестановки порядком вершин називається орієнтованим. Кожна $ (n-1) $ -грань орієнтованого симплексу отримує індуковану орієнтацію: якщо перша вершина не належить грані, то порядок решти приймається нею за позитивний.
Різноманіття
У зв'язному різноманітті $M$ системою координат служить атлас - набір карт, що покривають $M$. Атлас називається орієнтуючим, якщо координатні перетворення усі позитивні. Це означає, що їх ступеня дорівнюють $ +1 $ , а в разі різноманіття, що диференціюється, позитивні якобіани перетворення у всіх точках. Якщо орієнтуючий атлас існує, то різноманіття $M$ називається орієнтованим. У цьому випадку всі орієнтуючі атласи розпадаються на два класи, так що перехід від карт одного атласу до карт іншого позитивний, якщо і тільки якщо атласи належать одному класу. Вибір такого класу називається орієнтацією різноманіття. Цей вибір може бути вказаний однією картою або локальною орієнтацією в точці. У разі диференційованого різноманіття локальну орієнтацію можна встановити вказівкою репера в дотичній площині в точці. Якщо $ M$ має край і орієнтовано, то край також орієнтуємо, наприклад за правилом: у точці краю береться репер, що орієнтує $ M $ , перший вектор якого спрямований з $ M $ , а решта векторів лежать у дотичній площині краю, ці останні і приймаються за орієнтуючий репер краю.
Дезорієнтуючий контур
Дезорієнтуючий контур- замкнута крива в різноманітті, що володіє тим властивістю, що при її обході локальна орієнтація змінює знак.
Дезорієнтуючий контур є лише в неорієнтованому різноманітті $ M $, причому однозначно визначений гомоморфізм фундаментальної групи $ \pi_1(M) $ на $ \mathbb Z_2 $ з ядром, що складається з класів петель, що не є дезорієнтуючими.
Вздовж будь-якого шляху $q: [0, 1]\to M$ можна вибрати ланцюжок карт так, що дві сусідні карти пов'язані позитивно. Тим самим орієнтація в точці $q(0)$ визначає орентацію в точці $q(1)$, і цей зв'язок залежить від шляху $q$ лише з точністю до його безперервної деформації при фіксованих кінцях. Якщо $ q $ - петля, тобто $ q (0) = q (1) = x_0 $, то $ q $ називається дезорієнтуючим контуром, якщо ці орієнтації протилежні. Виникає гомоморфізм фундаментальної групи $\pi_1(M,x_0)$ в групу порядку $2$: дезорієнтуючі петлі переходять у $-1$, а решта в $+1$. За цим гомоморфізмом будується накриття, що є дволистим у разі різноманіття, що не орієнтується. Воно називається орієнтуючим (т. до. простір, що накриває, буде орієнтованим). Цей же гомоморфізм визначає над $M$ одномірне розшарування, тривіальне, якщо й тільки якщо $M$ орієнтоване. Для диференційованого $ M $ воно може бути визначене як розшарування $ \ Omega ^ n (M) $ диференціальних форм порядку $ n = \ operatorname M $ . Ненульовий перетин у ньомуіснує лише у випадку, що орієнтується, і задає форму об'єму на $M$ і одночасно орієнтацію.
Мовою гомологій
Орієнтація може бути визначена гомологічною мовою: для зв'язного орієнтованого різноманіття без краю гомології група $ H^n(M,\Z) $ (з замкнутими носіями) ізоморфна $ \Z $ , і вибір однієї з двох утворюючих задає орієнтацію - відбираються карти з позитивними ступенями відображень. Для зв'язного різноманіття з краєм те ж саме і для $ H^n(M,\partial M,\Z) $ . У першому випадку орієнтованість є гомотопічний інваріант M, а в другому – пари $(M, \ partial M) $. Так, лист Мебіуса і кільце мають той самий абсолютний гомотопічний тип, але різний — щодо краю.
Локальна орієнтація різноманіття може бути також задана вибором твірної групи $ H^n(M,M\backslash x_0,\Z) $ , ізоморфної $ \Z $ Гомологічна інтерпретація орієнтації дозволяє перенести це поняття на узагальнені гомологічні різноманіття.
Псевдомногоооразія
Тріангульоване різноманіття $M$ (або псевдомноманітність) орієнтовано, якщо можна орієнтувати всі $n$-мірні симплекси так, що два симплекси із загальною $(n-1)$-вимірною гранню індукують на ній протилежні орієнтації. Замкнутий ланцюжок $n$-вимірних симплексів, кожні два сусіди в якому мають загальну $(n-1)$-грань, називається дезорієнтуючою, якщо ці симплекси можуть бути орієнтовані так, що перший і останній симплекси індукують на загальній грані орієнтації, що збігаються. решта сусідів — протилежні.
Розшарування
Нехай над простором $B$ задано розшарування $p:E\toB$ зі стандартним шаром $F$. Якщо орієнтацію всіх шарів можна вибрати так, що будь-яке (власне) відображення, визначене шляхом $ B $однозначно з точністю до власної гомотопії, що зберігає орієнтацію, то розшарування називається орієнтованим, а вказаний вибір орієнтації шарів - орієнтацією розшарування. Наприклад, лист Мебіуса, що розглядається як векторне розшарування над колом, не має орієнтації, у той час як бічна поверхня циліндра - має.
Нескінченно-мірні простори
Поняття орієнтації допускає природне узагальнення й у разі нескінченномірного різноманіття, моделованого з допомогою нескінченномірного банахова чи топологічного векторного простору. При цьому необхідні обмеження на лінійні оператори, що є диференціалами функцій переходу від карти до карти: вони повинні не просто належати до загальної лінійної групи всіх ізоморфізмів моделюючого простору, яка гомотопічно тривіальна (в рівномірній топології) для більшості класичних векторних просторів, а утримуватися в деякій лінійно підгрупі загальної лінійної групи Тоді компонента зв'язності цієї підгрупи і ставитиме «знак» орієнтації. Як така підгрупа зазвичай вибирається фредгольмова група, що складається з тих ізоморфізмів моделюючого простору, для яких різниця з тотожним ізоморфізмом є цілком безперервний оператор.