Навчальний проект - Тригонометрія в навколишньому світі та житті людини - математика, презентації

Обґрунтування актуальності проекту.

Тригонометрія - це розділ математики, що вивчає тригонометричні функції. Важко уявити, але з цією наукою ми стикаємося не лише на уроках математики, а й у нашому повсякденному житті. Ви могли не підозрювати про це, але тригонометрія зустрічається в таких науках, як фізика, біологія, не останню роль вона грає і в медицині, і що найцікавіше без неї не обійшлося навіть у музиці та архітектурі. Слово тригонометрія вперше з'являється в 1505 в назві книги німецького математика Пітіскуса. Тригонометрія - слово грецьке, і в буквальному перекладі означає вимірювання трикутників (trigonan - трикутник, metroo - вимірюваю). Виникнення тригонометрії було тісно пов'язане із землемірством, астрономією та будівельною справою.

Школяр у 14-15 років не завжди знає, куди піде вчитися і де працюватиме. Для деяких професій її знання потрібне, т.к. дозволяє вимірювати відстань до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Принципи тригонометрії використовуються і в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) та комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел ( і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

  1. Визначення предмета дослідження

Чому знання тригонометріїнеобхідні для сучасної людини?

3. Цілі проекту.

Зв'язок тригонометрії із реальним життям.

  1. Проблемне питання 1. Які поняття тригонометрії найчастіше використовуються у реальному житті? 2. Яку роль грає тригонометрія в астрономії, фізиці, біології та медицині? 3. Як пов'язані архітектура, музика та тригонометрія?
  2. Гіпотеза

Більшість фізичних явищ природи, фізіологічних процесів, закономірностей у музиці та мистецтві можна описати за допомогою тригонометрії та тригонометричних функцій.

  1. Перевірка гіпотези

Тригонометрія (від грец. Trigonon – трикутник, metro – метрія) – мікророзділ математики, в якому вивчаються залежності між величинами кутів та довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій.

Зачатки тригонометричних знань зародилися в давнину. На ранньому етапі тригонометрія розвивалася у зв'язку з астрономією і була її допоміжним розділом.

Витоки тригонометрії беруть початок у стародавньому Єгипті, Вавилонії та долині Інду понад 3000 років тому.

Слово тригонометрія вперше зустрічається в 1505 в заголовку книги німецького математика Пітіскуса.

Вперше способи розв'язання трикутників, засновані на залежностях між сторонами та кутами трикутника, знайшли давньогрецькими астрономами Гіппархом і Птолемеєм.

Стародавні люди обчислювали висоту дерева, порівнюючи довжину його тіні з довжиною тіні від жердини, висота якого була відома. За зірками обчислювали місцезнаходження корабля у морі.

Наступний крок у розвитку тригонометрії був зроблений індійцями в період з V до XII ст.

Сам термін косинус з'явився значно пізніше у європейських роботах.вчених вперше наприкінці XVI ст. з так званого синусу доповнення, тобто. синуса кута, що доповнює цей кут до 90 °. «Синус доповнення» або (латиною) sinus complementi стали скорочено записувати як sinus co або co-sinus.

У XVII – XIX ст. тригонометрія стає одним із розділів математичного аналізу.

Вона знаходить велике застосування в механіці, фізиці та техніці, особливо при вивченні коливальних рухів та інших періодичних процесів.

Жан Фур'є довів, що будь-який періодичний рух може бути представлений (з будь-яким ступенем точності) у вигляді суми простих гармонійних коливань.

Стадії розвитку тригонометрії:

  • Тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів.
  • Першими кроками тригонометрії було встановлення зв'язків між величиною кута та ставленням спеціально побудованих відрізків прямих. Результат – можливість вирішувати плоскі трикутники.
  • Необхідність табулювати значення тригонометричних функцій, що вводяться.
  • Тригонометричні функції перетворювалися на самостійні об'єкти досліджень.
  • У XVIII ст. тригонометричні функції були включені

у систему математичного аналізу.

Де застосовується тригонометрія

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх сферах життєдіяльності людей. Слід зазначити застосування таких областях як: астрономія, фізика, природа, біологія, музика, медицина та ще.

Тригонометрія в астрономії:

Потреба у вирішенні трикутників найперше виявилася в астрономії; тому, протягом багато часу тригонометрія розвивалася і вивчалася як із розділів астрономії.

Потреба у вирішенні трикутників найперше виявилася вастрономії; тому, протягом багато часу тригонометрія розвивалася і вивчалася як із розділів астрономії.

Складені Гіппархом таблиці положень Сонця та Місяця дозволили передраховувати моменти настання затемнень (з помилкою 1-2 год). Гіппарх вперше почав використовувати в астрономії методи сферичної тригонометрії. Він підвищив точність спостережень, застосувавши наведення на світило хрест ниток в кутомірних інструментах — секстантах і квадрантах. Вчений склав величезний на той час каталог положень 850 зірок, розділивши їх по блиску на 6 ступенів (зіркових величин). Гіппарх запровадив географічні координати — широту та довготу, і його можна вважати фундатором математичної географії. (бл. 190 до н. е. - бл. 120 до н. е.)

Досягнення Вієта в тригонометрії Повне вирішення задачі про визначення всіх елементів плоского або сферичного трикутників за трьома даними елементами, важливі розкладання sin пх і cos пх за ступенями cos х і sinx. Знання формули синусів і косінусів кратних дуг дало можливість Вієту вирішити рівняння 45-го ступеня, запропоноване математиком А. Рооменом; Вієт показав, що рішення цього рівняння зводиться до поділу кута на 45 рівних частин і що існують 23 позитивних кореня цього рівняння. Вієт вирішив завдання Аполлонія за допомогою лінійки та циркуля. Рішення сферичних трикутників- одне із завдань астрономії Обчислювати сторони і кути будь-якого сферичного трикутника по трьох відповідним чином заданим сторонам або кутам дозволяють наступні теореми: (теорема синусів) (теорема косінусів для кутів) (теорема косінусів для сторін).

Тригонометрія у фізиці:

У навколишньому світі доводиться зіштовхуватися з періодичними процесами, які повторюються через однакові проміжки часу. Ці процеси називаютьсяколивальними. Коливальні явища різної фізичної природи підпорядковуються загальним закономірностям і описуються однаковими рівняннями. Існують різні види коливальних явищ.

Гармонічне коливання - явище періодичної зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

Де х — значення величини, що змінюється, t — час, А — амплітуда коливань, ω — циклічна частота коливань, — повна фаза коливань, r — початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання в диференціальному вигляді x'+ ω²x = 0.

Механічні коливання. Механічними коливаннями називають рухи тіл, що повторюються точно через однакові проміжки часу. Графічне зображення цієї функції дає наочне уявлення про перебіг коливального процесу у часі. Прикладами простих механічних коливальних систем можуть бути вантаж на пружині або математичний маятник.

Тригонометрія у природі.

Ми часто ставимо питання «Чому іноді бачимо те, чого немає насправді?». Для дослідження запропоновано такі питання: «Як виникає веселка? Північне сяйво?», «Що таке оптичні ілюзії?» ,«Як тригонометрія може допомогти знайти відповіді на ці питання?».

Вперше теорія веселки була дана в 1637 Рене Декартом. Він пояснив веселку, як явище, пов'язане з відображенням та заломленням світла у дощових краплях.

Північне сяйво Проникнення верхні шари атмосфери планет заряджених частинок сонячного вітру визначається взаємодією магнітного поля планети із сонячним вітром.

Сила, що діє на заряджену частинку, що рухається в магнітному поліназивається силою Лоренца. Вона пропорційна заряду частки та векторному добутку поля та швидкості руху частки.

  • Американські вчені стверджують, що мозок оцінює відстань до об'єктів, вимірюючи кут між площиною землі та площиною зору.
  • До того ж у біології використовується таке поняття як синус сонний, синус каротидний та венозний чи печеристий синус.
  • Тригонометрія відіграє у медицині. З її допомогою іранські вчені відкрили формулу серця - комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії.

Тригонометрія та тригонометричні функції в медицині та біології.

  • Одна зфундаментальних властивостей живої природи - це циклічність більшості процесів, що відбуваються в ній.
  • Біологічні ритми, біоритми - це більш-менш регулярні зміни характеру та інтенсивності біологічних процесів.
  • Основний земний ритм - добовий.
  • Модель біоритмів можна збудувати за допомогою тригонометричних функцій.

Тригонометрія у біології

Які біологічні процеси пов'язані із тригонометрією?

  • Тригонометрія відіграє у медицині. З її допомогою іранські вчені відкрили формулу серця - комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії.
  • Біологічні ритми, біоритми пов'язані з тригонометрією

Зв'язок біоритмів із тригонометрією

  • Модель біоритмів можна збудувати за допомогою графіків тригонометричних функцій. Для цьогонеобхідно ввести дату народження людини (день, місяць, рік) та тривалість прогнозу

Рух риб у воді відбувається за законом синуса чи косинуса, якщо зафіксувати крапку на хвості, а потім розглянути траєкторію руху.

При польоті птиці траєкторія помаху крил утворює синусоїду.

Виникнення музичної гармонії

  • Згідно з переказами, першими, хто спробував зробити це, були Піфагор і його учні.
  • Частоти, що відповідають одній і тій самій ноті в першій, другій і т.д. октавах, відносяться, як 1:2:4:8…
  • діатонічна гама 2:3:5

Тригонометрія в архітектурі

  • Дитяча школа Гауді у Барселоні
  • Страхова корпорація Swiss Re у Лондоні
  • Фелікс Кандела Ресторан у Лос-Манантіалесі
  1. Інтерпретація

Ми привели лише малу частину того, де можна зустріти тригонометричні функції. Ми з'ясували, що тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів, але згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.

Ми довели, що тригонометрія тісно пов'язана з фізикою, що зустрічається в природі, медицині. Можна наводити безліч прикладів періодичних процесів живої і неживої природи. Усі періодичні процеси можна описати за допомогою тригонометричних функцій та зобразити на графіках

Ми думаємо, що тригонометрія знайшла відображення в нашому житті, і сфери,

у яких вона відіграє важливу роль, розширюватимуться.

  • З'ясували, що тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів, але згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.
  • Доказали, що тригонометрія тісно пов'язана з фізикою,зустрічається в природі, музиці, астрономії та медицині.
  • Думаємо, що тригонометрія знайшла відображення у нашому житті, і сфери, в яких вона відіграє важливу роль, будуть розширюватися.

Перегляд вмісту документа «Данілова Т.В.-сценарій»

МКОУ «Ненецька загальноосвітня середня школа – інтернат ім. А.П.Пирерки»