Інваріанти подібності та критерії подібності
Якщо всі подібні величини, що визначають стан даної системи (натури) і подібної до неї системи (моделі), вимірювати у відносних одиницях, тобто брати подібне відношення величин для кожної системи, то воно також буде величиною постійної і безрозмірної, наприклад
ВеличиниIl,Iτі т. д.Не залежать від співвідношення розмірівНатури та моделі,Т. е. для іншої моделі, також подібною до натури, значенняIl,Iτ.Будуть ті ж. Таким чином, відносини геометричних розмірів, часу та фізичних констант у даній системі (натурі) рівні відносинам тих самих величин у подібній системі (моделі). При переході від однієї системи до іншої, подібної до неї, чисельне значення величинIl,Iτ,. зберігається. Тому безрозмірні числаI,Виражають відношення двох однорідних величин у подібних системах, звутьсяІнваріантів подоби.
Інваріанти подібності, що є відносинами однорідних величин, називаютьСимплексами**, абоПараметричнимиКритеріями***(наприклад, відношенняL1/D1- геометричний симплекс). Інваріанти подібності, виражені ставленнямРізноріднихВеличин, називаютьКритеріями подоби.Зазвичай їх позначають початковими літерами імен учених, які внесли істотний внесок у цю область знання (наприклад, Re-число, або критерій, Рейнольдса ).
Можна отримати критерії для будь-якого фізичного явища. Для цього необхідно мати аналітичну залежність між змінними величинами аналізованого явища.Критерії подібності безрозмірні(як і інваріанти подібності), їх значення для кожної точки даної системи можуть змінюватися, але для подібних точок подібних систем не залежать від відносних розмірів натури та моделі.
*Invariants(лат.) - незмінний.
**Simplex(лат.) - простий.
***Kriterion(грец.) - ознака, засіб для судження
Таким чином,Явлення, подібні між собою, характеризуються чисельно рівними критеріями подібності. Рівність критеріївПодоби-Єдина кількісна умова подібності процесів.Звідси очевидно, що відношення критеріїв однієї системи до критеріїв подібної до неї системи завжди дорівнює 1. Наприклад, для натури і моделі Re1 = Re2. Тоді
= 1, або
Якщо відношення констант подібності дорівнює 1, воно носить назвуІндикатора подібностіІ вказує на рівність критеріїв подібності, Отже,У подібних явищ індикатори подібності рівніОдиниці.
Якщо константи подібності знайдені з умов однозначності, то утворені з них критерії називаютьВизначальними.Критерій, в який входить шукана величина, називаютьВизначальним.Будь-яка комбінація критеріїв подібності також є критерієм подоби розглянутого явища. .
Для певної групи подібних процесів критерії подібності мають певні чисельні значення. При переході до іншої групи подібних процесів, що описуються тими ж диференціальними рівняннями, при тому наборі критеріїв подібності їх чисельні значення будуть іншими (внаслідок, наприклад, відмінностей геометричних характеристик, швидкостей потоків і т. д.).
Зі сказаного випливає, щоБудь-яка залежність між змінними, що характеризують якесь явище(тобто система диференціальних рівнянь),Може бути представлена у вигляді залежності між критеріями подоби:
Цю залежність називаютьУзагальненим (критеріальним) рівнянням,А критерії подібності КI- узагальненими зміннимивеличіНамі.
Таким чином, теорія подібності дає можливість подати рішення диференціальних рівнянь та обробляти експериментальні дані у вигляді узагальнених критеріальних рівнянь. Це дозволяє скоротити кількість експериментів при отриманні конкретних рівнянь типу (4.1) за рахунок варіювання критеріїв подібності, минаючи визначення всіх величин, що входять до критерію подібності рівняння (4.1).
Зазвичай рівняння (4.1) записують як залежності визначається критерію подоби (до якого входить шукана величина) від визначальних:
Де К1-визначуваний критерій подоби; значенняА, п, тЗнаходять дослідним шляхом.
Якщо будь-який ефект у досліджуваному процесі стає дуже слабким проти іншими (чисельні значення критеріїв можуть бути у своїй дуже малі чи великі), його впливом можна знехтувати. У цьому випадку критерії, що характеризують інтенсивність цього ефекту, можуть бути опущені з розгляду, і процес набуває властивістьАвтомоделі,Т. е. незалежності від цих критеріїв. Таке моделювання називаютьНаближеним.
Таким чином, теорія подібності вказує, як треба ставити досліди та обробляти дослідні дані, щоб, обмежившись мінімальним числом дослідів, мати підстави узагальнювати їх результати та отримувати закономірності для цілої групи подібних явищ. Теорія подібності дозволяє з достатньою для практики точністю вивчати складні процеси на моделях (значно менших за розмірами і часто простіших, ніж апарати натуральної величини), використовуючи при цьому не робочі речовини (іноді токсичні, пожежо- та вибухонебезпечні, дорогі тощо). ), аМодельні(наприклад, воду, повітря тощо). Все це дозволяє суттєво спрощувати та здешевлювати експерименти, швидше реалізовуватирезультати досліджень.
Необхідно пам'ятати, що з використанні теорії подоби існують певні обмеження. Наприклад, використовуючи методи теорії подібності, не можна отримати більше інформації, ніж її міститься у вихідних рівняннях. Можна без звичайних математичних методів інтегрування цих рівнянь отримати їх інтегральні рішення, але якщо вихідні рівняння неправильно описують фізичну сутність процесу, те й отримані з використанням методів теорії подоби залежності будуть неправильними. Крім того, моделювання на основі методу узагальнених змінних завжди пов'язане з проведенням експерименту, іноді досить складного та великого за обсягом, що потребує значних витрат часу. Отримані узагальнені рівняння працюють надійно лише у інтервалах зміни змінних, які були використані під час проведення експерименту.