Графік функції розподілу
г)Визначимо ймовірність того, що серед 4-х відібраних квитків виявитьсяне менше трьохвиграшних.
"Не менше трьох" - "щонайменше три" - "три або більше". Іншими словами, "не менше трьох" - це "або три, або чотири".
Виходячи з цього, для визначення ймовірності того, що серед відібраних 4-х квитків виявиться не менше трьох виграшних квитків, можна застосувати теорему складання ймовірностей несумісних подій:
P(X ³ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,01321 + 0,00021 = 0,01342.
Імовірність того, що серед відібраних виявиться не менше трьох виграшних квитків становить 0,01342.
д)Визначимо тепер ймовірність того, що серед відібраних 4-х квитків виявитьсяне більше одноговиграшного квитка.
"Не більше одного" - це "один або менше" - "або нуль, або один".
Отже, для визначення ймовірності того, що серед відібраних виявиться не більше одного виграшного квитка, також застосовуємо теорему складання ймовірностей для несумісних подій:
P(X £ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,37564 + 0,46233 = 0,83797.
Відповідь. Р(Х3) = 0,01342; Р(Х £ 1) = 0,83797.
Завдання до теми 4
1. Нафторозвідувальна компанія отримала фінансування щодо 7 нафторозробок. Імовірність успішної нафторозвідки 0,2. Припустимо, що нафторозвідки здійснюють незалежні одна від одної розвідувальні партії.
а) Складіть ряд розподілу числа успішних нафторозвідок та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що як мінімум три нафторозвідки принесуть успіх?
б) Знайдітьчислові показники цього розподілу;
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
3. Деякий ресторан славиться гарною кухнею. Управитель ресторану стверджує, що у суботній вечір протягом півгодини підходить у середньому 5 груп відвідувачів.
а) Складіть низку розподілу можливої кількості груп відвідувачів ресторану протягом півгодини; побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що три або більше груп відвідувачів прибудуть до ресторану протягом 10-хвилинного проміжку часу?
4. У кредитному відділі банку працюють 5 спеціалістів з вищою фінансовою освітою та 3 спеціалісти з вищою юридичною освітою. Керівництво банку вирішило направити 3 фахівців для підвищення кваліфікації, обираючи їх у випадковому порядку.
а) Складіть ряд розподілу числа фахівців з вищою юридичною освітою, які можуть бути спрямовані на підвищення кваліфікації та побудуйте її графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу.
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Яка ймовірність того, що підвищуватимуть кваліфікацію не більше двох спеціалістів з вищою юридичною освітою?
5. Для експертної оцінки якості розчинної кави було відібрано 9 зразків різних виробників: 6 зразків фірми Nestle та 3 зразки фірми Kraft Food. В результаті перевірки з'ясувалося, що 4 випадково вибрані зразки відповідають стандартам якості.
а) Складіть ряд розподілу числа зразків продукції фірми Nestle, серед відібраних тапобудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що як мінімум два зразки фірми Nestle відповідають якості?
6. Протягом годин-пік у громадському транспорті міста відбувається в середньому дві дорожні пригоди на годину. Ранковий час пік триває півтори години, а вечірній – дві години.
а) Складіть ряди розподілу числа дорожніх пригод у ранкові та вечірні години пік та побудуйте їх графіки;
б) Знайдіть числові показники цих розподілів;
в) Запишіть функції розподілу ймовірностей та побудуйте їх графіки;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що у певний день протягом і ранкового, і вечірнього часу не станеться жодної дорожньої пригоди?
7. У місті 6 комерційних банків. Кожен ризик банкрутства протягом року становить 10%.
а) Складіть ряд розподілу числа банків, які можуть збанкрутувати протягом наступного року; побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що протягом року збанкрутують не більше двох банків?
8. Протягом семестру викладачі проводять консультації з питань, що залишилися неясними для студентів. Викладач, який проводить консультації зі статистики, зауважив, що в середньому 12 студентів відвідують його за годину консультаційного часу, хоча кількість студентів, які відвідують консультацію у визначений день, у призначену годину – випадкова величина.
а) Складіть ряд розподілу числа студентів, які відвідуютьконсультації викладача зі статистики протягом півгодини та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що троє студентів прийдуть на консультацію протягом 15 хвилин?
а) Складіть ряд розподілу числа кав'ярень з цілодобовим режимом роботи, відібраних для аналізу та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що у дослідженні братимуть участь не більше двох цілодобово працюючих кав'ярень?
10. Туристична фірма оцінює ймовірність того, що клієнт скасує вже оплачену подорож внаслідок особистих обставин як 0,1. Група із 6 туристів сплатила тур до Індії.
а) Складіть ряд розподілу числа туристів, які скасували поїздку внаслідок особистих обставин, та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Визначте ймовірність того, що не більше одного туриста скасують подорож.
11. До майстерні з ремонту побутової техніки надійшли 8 холодильників, з яких 3 підлягали гарантійному обслуговуванню. Бригада фахівців, яка працює в першу зміну, отримала вбрання на ремонт 4 холодильників.
а) Складіть ряд розподілу числа холодильників, відремонтованих за гарантією у першу зміну; якщо холодильники для ремонту відбиралися випадковим чином та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функціюрозподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Визначте ймовірність того, що за гарантією було відремонтовано не більше двох холодильників.
12. Для того, щоб перевірити правильність своїх фінансових рахунків, компанія регулярно користується послугами аудиторів для перевірки у бухгалтерських проводках рахунків. Припустимо, що компанії при обробці вхідних рахунків припускають приблизно 5% помилок. Припустимо, аудитор випадково відбирає 5 вхідних документів.
а) Складіть ряд розподілу числа помилок, виявлених аудитором та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Визначте ймовірність того, що аудитор виявить щонайменше дві помилки.
13. У магазині є 11 автомобілів певної марки. Серед них – 6 автомобілів чорного кольору, 3 – сірого та 2 – білого. Представники фірми звернулися до магазину з пропозицією про продаж ним трьох автомобілів цієї марки, байдуже якого кольору.
а) Складіть ряд розподілу числа проданих автомобілів чорного кольору за умови, що автомобілі відбиралися випадково та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Напишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Яка ймовірність того, що серед проданих фірмі автомобілів виявиться принаймні 2 автомобілі чорного кольору?
14. У міжнародному аеропорту час прибуття літаків різних рейсів висвітлюється на електронному табло. Поява інформації про різні рейси відбувається випадково незалежно один від одного. У середньому до аеропорту прибуває 6 рейсів протягом півгодини.
а) Складіть ряд розподілу числаповідомлень про прибуття літаків протягом півгодини та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що протягом півгодини з'явиться інформація про прибуття не менше трьох рейсів?
д) Чому дорівнює ймовірність того, що протягом чверті не з'явиться інформація про прибуття жодного літака?
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
16. Екзаменаційний тест містить 5 питань, кожне з яких має 4 варіанти відповіді і лише 1 з них вірний.
а) Складіть ряд розподілу числа правильних відповідей та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що принаймні 3 відповіді будуть правильними?
17. Менеджер ювелірного магазину стверджує, що протягом дня відбувається в середньому 4 покупки.
а) Складіть ряд розподілу числа покупок, здійснених у ювеліром магазині протягом дня та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що за два дні в магазині буде здійснено не більше 2 покупок?
18. У підгрупі англійської мови займаються 9 студентів, 4 з яких закінчили школи з поглибленим вивченням мови. Для стажування з бухгалтерського обліку в Англії випадково відбираються 3 студентів.
а) Складіть ряд розподілу числа студентів, серед відібраних,що поглиблено вивчали англійську мову і побудуйте її графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що на стажування буде відправлено не більше двох студентів, які закінчили раніше спецшколи?
19. За даними страхової компанії, ймовірність неврожаю становить 0,3. У разі неврожаю страхова фірма зобов'язується виплатити страхове відшкодування. Договір страхування був укладений із 5 фермерськими господарствами.
а) Складіть ряд розподілу числа фермерських господарств, що отримали страхове відшкодування та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, страхове відшкодування було виплачено не більше трьох фермерських господарств?
20. На підприємстві 2000 одиниць обладнання певного виду. Імовірність відмови одиниці обладнання протягом години становить 0,001.
а) Складіть ряд розподілу числа відмов обладнання протягом години та побудуйте його графік;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу;
в) Запишіть у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей та побудуйте її графік;
г) Чому дорівнює ймовірність того, що протягом години відмовлять щонайменше 3 одиниці обладнання?
5. Безперервні випадкові величини.