Функція Гамільтона

H(p,q,t) де p = (p_1, p_2, . p_n) - повний набір узагальнених імпульсів, що описує цю систему (n- число ступенів свободи), q = (q_1, q_2, . q_n) - повний набір узагальнених координат.

У квантовій механіці та квантовій теорії поля гамільтоніан або оператор Гамільтона, що визначає тимчасову еволюцію системи, відповідає функції Гамільтона в класичній фізиці і є її узагальненням, в принципі досить прямим, однак у ряді випадків не зовсім тривіальним (у принципі квантовий гамільтоніан може бути отриманий просто підстановкою квантових операторів координат та імпульсів у функцію Гамільтона, проте через те, що такі оператори не завжди комутують, може бути не відразу очевидним є вибір правильного варіанта з виникаючих внаслідок цього).

Для консервативних систем функція Гамільтона представляє повну енергію (виражену як функція координат та імпульсів), тобто в класичному сенсі суму кінетичної та потенційної енергій системи.

Функція Гамільтона пов'язана з лагранжіаном через перетворення Лежандра наступним співвідношенням:

H=\vec p \cdot \dot - L

де \vec p - Узагальнений імпульс частинки, а \ Dot - її узагальнена швидкість.

Фізичний зміст

Функція Гамільтона по суті являє собою локальний закон дисперсії, що виражає квантову частоту (частоту коливань хвильової функції). постійним множником, який може бути обраний і поодиноким у відповідній системі одиниць. :

\omega = H(\mathbf k, \mathbf x).

Так, у класичному наближенні (при великих частотах та модулі хвильового вектора тапорівняно повільної залежності від \mathbf x ) цей закон досить очевидно описує рух хвильового пакета через канонічні рівняння Гамільтона, одні з яких (\dot q_i = \partial H/ \partial p_i) інтерпретуються як формула групової швидкості, отримана із закону дисперсії, а інші (\dot p_i = - \partial H/ \partial q_i) цілком природно - як зміна, зокрема поворот, хвильового вектора при поширенні хвилі в неоднорідному середовищі певного типу.

---