Ергодичність - Студопедія

При першому знайомстві з випадковими процесами завжди виникає закономірне питання: «Як вивчати випадкові процеси практично?» Справа в тому, що в багатьох випадках ми спостерігаємо лише одну реалізацію з усього ансамблю, і повторити досвід із тими самими умовами неможливо.

Дослідники майже завжди припускають, що тривале спостереження заодною реалізацієювипадкового процесу дозволяє вивчити властивостіансамблю, тобто, один елемент ансамблю містить інформацію про всі інші елементи. Випадкові процеси, що мають таку властивість, називаютьергодичними. Зауважимо, що тільки стаціонарний процес може бути ергодичним.

З одного боку, у реальних ситуаціях дуже складно довести ергодичність. З іншого – зазвичай має сенс припустити, що процес ергодичний, якщо немає вагомих доказів проти цього.

Для ергодичних процесів з однієї реалізації можна знайти основні характеристики, замінивши усереднення по ансамблю на усереднення за часом. Наприклад, математичне очікування стаціонарного випадкового процесу можна теоретично знайти через його густину розподілу:

.

Якщо ми знаємо лише одну реалізацію, можна спробувати оцінити середнє значення на інтервалі, розділивши інтеграл від функції на ширину інтервалу:

.

Переходячи до межі при (застосовуючи усереднення на нескінченному інтервалі), отримуємо оцінку середнього значення по одній реалізації:

.

Для ергодичних процесів це значення збігається з , яке отримано шляхом усереднення ансамблю.

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

---